第四讲 最大值函数

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范翻

中央财经大学(CCFD)

案例导入：新能源车企的产能规划

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决策困境：

• 当电池成本θ从1000元/kWh上涨时：

• 单日最大利润下降速度如何量化？

• 是否应调整生产计划或库存策略？

本讲学习目标

1. 理解最大值函数的数学构造与经济内涵
   
2. 掌握包络定理的内容
   
3. 应用定理解析短期/长期决策差异
   
4. 构建消费者与生产者行为的统一分析框架

最大值函数

• 对于一个最优化问题，一般而言存在着选择变量、目标函数和约束条件。当选择变量达到最优选择\(\bar{x}\) 时，目标函数取得最大值/最小值，即\(v = F(\bar{x})\)

• 在给定外生参数\(\theta\)，以及目标函数和约束条件形式的情况下，每个最优化问题对应着一个最大值\(v\) ，以及一个（或若干个）最优选择\(\bar{x}\)

• 一旦考虑外生参数\(\theta\) 的变化，选择变量所能达到的最优选择将会随之变化。即每种情况下的最优选择\(\bar{x}\) 会是外生参数\(\theta\) 的函数

• 对应的最大值/最小值实际上也会是外生参数\(\theta\) 的函数\(v(\theta)\)

参数进入目标函数的情况

假定参数向量\(\theta\) 进入目标函数，通过选择\(x\) ，在向量约束\(G(x) = c\) 下(注意：此时参数\(\theta\) 并不会影响约束条件)最大化目标函数\(F(x, \theta)\)

此时，目标函数和拉格朗日函数均依赖于\(\theta\)，因此

\[L(x, \lambda, \theta) = F(x, \theta) + \lambda[c - G(x)]\]

最优选择\(\bar{x}\) 满足一阶条件

\[L_{x}(\bar{x}, \lambda, \theta) = 0 , L_{\lambda} (\bar{x},\lambda, \theta) =0\]

最大值的变化

目标函数的最大值记作\(v\)，假定\(\theta\) 变动到\(\theta + d\theta\) 。这会导致最优选择\(\bar{x}\) 变到\(\bar{x} + d\bar{x}\)，进而最大值\(v\) 变到\(d + dv\)：

\[ \begin{aligned} dv & = F(\bar{x} + d\bar{x}, \theta + d\theta) - F(\bar{x}, \theta) \\ & = F_{x}(\bar{x}, \theta) d\bar{x} + F_{\theta}(\bar{x}, \theta) d\theta \\ & = \lambda G_{x}(\bar{x})d\bar{x} + F_{\theta}(\bar{x}, \theta) d\theta \\ & = F_{\theta}(\bar{x}, \theta) d\theta \end{aligned} \]

• \(G_{x}(\bar{x})d\bar{x} = 0\)，因为\(G(\bar{x}) = G(\bar{x} + d\bar{x})\)

• 当一个不影响约束条件的参数发生变化后，如果要计算其所导致目标函数最大值的一阶变化，不需要考虑最优选择\(\bar{x}\)自身的变动

• 我们可以考虑在原来的最优选择处计算参数\(\theta\)变动的偏导数，以及\(\theta\) 的变动情况

成本最小化问题

最大化\(F(x, \theta) = -\theta x\)，同时满足\(G(x) = c\) 。将由此产生的最大值记作\(-v\) ，那么

\[ d(-v) = F_{\theta}(\bar{x}, \theta) d\theta = - d\theta \cdot \bar{x}\Longrightarrow dv = \bar{x}d\theta \]

\(v\) 意味着当投入要素价格为\(\theta\) 时，生产出\(c\) 单位产品的最小成本

当价格发生变化时，生产者会如何调整最优选择？

生产者会减少使用变得更贵的投入要素，同时用更多的（相对更便宜的）其他要素来替代，并且相互替代会沿着一条等产量线进行

我们对\(v = \theta \bar{x}\) 进行微分，可得\(dv = \theta d\bar{x} + d\theta\bar{x}\)

• 第一项意味着，以原来的价格衡量的投入组合变动的价值

• 第二项意味着，以原来的最优产量衡量的价格变动的价值

• 在原来的价格下，原来的投入组合选择已经是最优的了，因此任何变动的价值的一阶效应必然为零

包络定理

包络定理 (Envelope Theorem) 的标准定义：

在优化问题中，若参数变化时最优值的响应可通过直接效应完全刻画，则间接效应（通过调整决策变量）为零。数学表述为：

设优化问题：

\[ V(a) = \max_{x} \ f(x, a) \]

其中\(x\)是决策变量，\(a\) 是参数。若 \(x^*(a)\) 是内点解且可微，则： \[ \frac{dV(a)}{da} = \frac{\partial f(x^*, a)}{\partial a} \bigg|_{x=x^*(a)} \] 即参数变化对最优值的影响仅需计算其对目标函数的直接偏导数，无需考虑\(x(a)\)的调整路径。

参数影响所有函数

假定参数\(\theta\) 同时影响目标函数F和约束条件G，且约束条件为\(G(x, \theta) = c\)，其中\(\theta\) 和\(c\) 是不同的，因此 \[G_x(x, \theta) dx + G_{\theta} (x, \theta) d\theta = 0\]

对于最大值函数的变动而言

\[ \begin{aligned} dv & = -\lambda G_{\theta}(\bar{x}, \theta) d\theta + F_{\theta}(\bar{x}, \theta) d\theta \\ & = L_{\theta}(\bar{x}, \lambda, \theta) d\theta \end{aligned} \]

比较条件5.1和5.4:

• 当\(\theta\) 影响约束时，变动\(d\theta\) 会影响约束条件\(G(x)\)，使得G的值增加\(G_{\theta}(\bar{x}, \theta)d\theta\)

• 这相当于\(c\) 减少同等量，等价于\(v\) 的值下降\(\lambda G_{\theta}(\bar{x}, \theta) d\theta\) （注意:\(\lambda\) 代表着\(c\) 变化一单位导致最大值函数\(v\) 的边际变化）

广义的参数向量

定义一个更大的参数向量\(\hat{\theta}\)，其包括子向量\(\theta\) 和\(c\)，并将约束条件写作：

\[ \hat{G} (x, \hat{\theta}) \equiv G(x, \theta) - c = 0 \]

拉格朗日函数可以写作：

\[ \hat{L}(x, \lambda, \hat{\theta}) \equiv F(x, \theta) - \lambda\hat{G}(x, \hat{\theta}) \]

因此，最大值函数的变动等价于：

\[ dv = \hat{L}_{\hat{\theta}}(\bar{x}, \lambda, \hat{\theta})d\hat{\theta} \]

而对于广义约束条件而言：

\[ \hat{G}{\hat{\theta}}(x, \hat{\theta}) d\hat{\theta} = G_{\theta}(x, \theta) d\theta - dc \]

因而\(dv\) 的表达式可以变为：

\[ dv = L_{\theta} (\bar{x}, \lambda, \theta) d\theta + \lambda dc. \]

某些选择变量固定不变

• 当外生参数\(\theta\)发生变化时，会影响最优选择向量\(x\)的取值，进而影响最大值\(v\)。

• 包络定理告诉我们，关于最大值\(v\)的变化\(dv\)，我们可以不需要了解最优选择\(x\)的变化。

\[ dv = L_{\theta} (\bar{x}, \lambda, \theta) d\theta + \lambda dc. \]

• 上式中，\(dv\)的变化可以区分为两个部分：

  1. 当\(x\)固定在原来的最优选择下，\(\theta\)变化对最大值的偏导数效应；

  2. 如果参数变动还影响约束条件，还要考虑等价的约束条件右边\(c\)的影响。

短期和长期的生产计划

对于一个厂商而言，长期内资本和劳动都可以调整，但在短期内资本固定在某个水平无法变动。假设选择变量是\(y, z\) ，其中：

• 在长期中，\(y\)和\(z\) 都可以任意变动

• 在短期内，\(z\) 固定不变而仅有\(y\) 可以变化

最优化问题可以写作：

\[ \begin{aligned} max &\quad F(y, z, \theta) \\ s.t. &\quad G(y,z,\theta) = 0 \end{aligned} \]

在长期中，最优选择和对应的值函数是外生参数\(\theta\) 的函数，即

\[ y_{l} = Y(\theta), z_{l} = Z(\theta), v_{l} = V(\theta) \]

在短期中，因为\(z\)固定不变，所以本质上是类似\(\theta\) 的参数：

\[y_{s} = Y(z, \theta), v_{s} = V(z, \theta)\]

思考：\(v_{l}\) 和\(v_{s}\) 之间有什么关系呢？

最大值函数的关系

长期最大值和短期最大值之间满足 \[ V(\theta) \geq V(z, \theta), \forall (z,\theta) \]

• 对于任意给定的外生参数\(\theta\)，长期最大值必然大于等于短期最大值；

• 原因在于，短期最大值所能做出的最优选择\(y_s = Y(z, \theta)\)，一定可以在长期内被选择；

• 等号成立恰好在\(y_s = y_l\)，即短期内\(z\)的取值恰好等于长期内\(z_l = Z(\theta)\)。

如果上述函数都是可微的，那么我们可以得到

\[ V^{'}(\theta)= V_{\theta}(Z(\theta), \theta) \]

• 等式右边是短期最优值函数\(V(z, \theta)\)在变量\(z\)不变时，在点\(z = Z(\theta)\)处取值的偏导数。

短期和长期成本

考虑如下生产函数的短期和长期成本曲线之间的关系： \[ Q = (KL)^{1/\alpha} \] 其中，Q代表产量，K是短期固定资本，L是劳动。如果

• \(\alpha = 2\)，那么规模报酬不变

• \(\alpha < 2\)，那么规模报酬递增

• \(\alpha > 2\)，那么规模报酬递减

令\(w\)表示工资率，\(r\)表示资本使用成本。则长期成本函数为：

\[ C(w, r, Q) = \min_{K,L}\{\underbrace{wL + rK}_{\text{最小化成本}} |\underbrace{KL = Q^{\alpha}}_{\text{生产目标}}\} \] 使用拉格朗日方法，很容易得到成本最小的投入选择：

\[ \begin{aligned} K & = (wQ^{\alpha}/r)^{1/2} \\ L & = (rQ^{\alpha}/w)^{1/2} \end{aligned} \]

那么，长期成本函数为：

\[ C(w,r, Q) = 2(wr)^{1/2}Q^{\alpha/2} \]

在短期内没有选择资本\(K\)的自由。如果使用资本K生产出产量Q，那么必须使用劳动\(L = Q^{\alpha}/K\)，成本函数变为： \[ C(w, r, Q, K) = wQ^{\alpha}/K + rK \]

• 长期的边际成本为： \(C_{Q}(w,r,Q)= \alpha(wr)^{1/2}Q^{\alpha/2 -1}\)

• 短期的边际成本为： \(C_{Q}(w,r,Q,K) = \alpha wQ^{\alpha - 1}/K\)

• 如果\(K\)的值恰好是长期中最优值\(\bar{K} = (wQ^{\alpha}/r)^{1/2}\)，那么短期边际成本和长期边际成本是一样的么？

\[ \begin{aligned} C_{Q}(w,r,Q,\bar{K}) & = \alpha wQ^{\alpha - 1}/\bar{K} \\ & = \alpha wQ^{\alpha - 1}/(wQ^{\alpha}/r)^{1/2} \\ & = \alpha(wr)^{1/2}Q^{\alpha/2 -1} \\ \end{aligned} \]

消费者需求

考虑一个消费者，在\(\textbf{p} \cdot \textbf{x} = I\)的预算约束下最大化效用\(U(x)\)

• 这个最大化问题的参数为价格向量\(\textbf{p}\)和收入\(I\)，并由此得到最大效用为\(V(\textbf{p}, I)\)

• 称\(V(\textbf{p}, I)\)为间接效用函数，以区别于以消费商品数量决定的(直接)效用函数

对于上述效用最大化问题，其拉格朗日函数为： \[ L(x, \lambda, p, I) = U(x) + \lambda(I - px) \]

回忆一下，包络定理告诉我们，最大值的变动等价于

\[ dv = \hat{L}_{\hat{\theta}}(\bar{x}, \lambda, \hat{\theta})d\hat{\theta} \]

因此，在最优解处必然有

\[ \begin{aligned} V_I(\textbf{p}, I) & = L_{I}(x, \lambda, p, I) = \lambda \\ V_{p_i}(\textbf{p}, I) & = L_{p_i}(x, \lambda, p, I) = - \lambda x_i \end{aligned} \]

• 因此，如果我们知道消费者的间接效用函数，那么可以很轻易地找出消费者的需求函数： \[ D(\textbf{p}, I) = - V_{p}(\textbf{p}, I)/V_I(\textbf{p}, I), \forall i = 1, \cdots, n \]

• 相反，如果我们知道消费者的(直接)效用函数，那么需要求解所有约束条件下的最大化问题，才能找到消费者的需求函数

支出最小化问题

• 考虑消费者如何以最少的支出达到一个目标效用水平的问题，最小支出是关于价格向量\(\textbf{p}\)和目标效用水平\(u\)的函数\(E(\textbf{p}, u)\)，称之为支出函数

• 这个最小化问题的拉格朗日函数可以写作：

\[ L(x, \mu, p, u) = px + \mu[u - U(x)] \]

• 类似地，\(E_{u}(p, u) = \mu\)，意味着为了实现目标效用水平的边际增加，所要求的最小支出的增加

• 以及，\(E_{p}(p,u) =x\)，代表着对给定效用水平时，使得支出最小的商品组合，我们称之为希克斯需求函数\(C(p, u)\)

斯拉茨基分解

• 从某个效用水平\(u\)开始，在给定价格水平下达到效用水平所需要的最小支出为\(I = E(p,u)\)，对应的希克斯需求为\(C(p,u)\)

• 以上面的最小支出\(I\)作为货币收入，并找到效用最大化的选择\(D(p, I)\)，则有\(C(p, u) = D(p, I)\)

• 对于第\(j\)个商品的需求，两边同时对第\(k\)个商品价格求导，根据链式法则有

\[ \begin{aligned} C^j_k(p, u) & = D^j_k(p, E(p,u)) \\ & = \underbrace{D^j_k(p, I)}_{\text{替代效应}} + \underbrace{D^j_I(p, I)E_k(p,u)}_{\text{收入效应}}\\ \end{aligned} \]